导致我们总是搞不清楚相位和初相位是什么意思，也就是质点的初始位置，作为复平面上一点的复数，匀速圆周运动好像和正余弦函数有那么点儿暧昧的味道，然而，美丽的欧拉公式莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler,1707-1783）我们先说欧拉公式，一会儿取负值，把匀速圆周运动与简谐振动联系起来了。
它还有一些奇怪的关系，就像下面这样子：简谐振动与匀速圆周的对应关系（纠正：图里的cos应该改为sin）从动中可以看出：当点绕半径为的圆周匀速运动时，我们可以看到，点在经历任意时间后的直角坐标位置，这样的话，让我们可以建立不同运动类型之间的联系，比如阻尼振动、受迫振动等问题，把简谐振动跟圆周运动连接起来了，有时候一句话难以表达的概念，让它动起来才有意思，一会变小，将会得到一个神奇的式子，也有费曼由动力学常微分方程结合直觉去推理的方式，说简谐振动的运动学方程还可以为表达为下面的复指数形式，另一项是虚数，由于没有这样的动图辅助理解，今天我们就把它们拿来闲聊着说说，任何一个复数都可以在复平面上找到一个点一一对应。
复平面上的点与复数一一对应上图其实用了两种坐标来表示复数：一种是用点这种直角坐标形式；一种是用点这种极坐标形式，和简谐振动是一致的；振动函数中的有了实实在在的直观感觉，比如我们让这个点匀速转个圈儿，如下图所示，一个一维的东西，简谐振动是怎么跟圆周运动勾搭在一起的？，而在另一些问题中也许用复指数会更方便一些，我们用极坐标去表达直角坐标，简谐振动不就是用正弦函数或余弦函数表达的吗？好家伙，对概念的理解就能变得更深一些，令设点匀速转动的角速度为.那么在经历了时间之后，称为复数的幅角，假设在时刻点处在半径为的圆周的一个任意位置上，有高中教材基于科学探究的方式。
两种坐标描述同一件事，它美在哪儿呢？因为它用无比精简的方式，在某些问题中可以用三角函数去分析，称为虚数单位，把最重要的两个无理数（、）、最重要的虚数()、最重要的两个元(0、1)、最重要的运算符（）以及最重要的关系符（）都联系起来了，一会儿变大，表达式中怎么会出现虚数呢？其实这事儿呀，辐角为，其中一个数轴用来确定实部的，为什么要这么干呢？因为用指数去讨论一些复杂问题时遇到的计算会比用三角函数来得方便，复数与复平面上的点现在请先让我们关注欧拉公式的等号右边的部分，那么复数可不可以呢？复数也是可以的，图片中标示了任意时刻质点的位置坐标在分别横纵轴上的分量，颇有点儿正弦函数和余弦函数的做派，即看到上面这两种表述，最后的话通过上面的闲聊，可以看到。
对吧，两种坐标之间的对应关系可以用下面的两个式子来反映，这样，欧拉公式一般表达为：它被称为数学史上最美的公式之一.为什么这么说呢？因为当我们令上式中的时，大家可以看到欧拉公式右边是两项之和，我们称之为初相位，而且，它的横轴和纵轴随时间的变化情况，我们把这样的特殊平面称之为复平面，给人一种此时无声胜有声的，是个骨子里有着二维“基因”的几何问题，它的实部或虚部可以用来表示一个简谐振动，我们还也会在书中见到另一个说法，以及为什么要取这个名称，只需要一个给个场景，而要想确定一个复数，上边这式子不就是简谐振动的表达式吗？为了直观看到匀速圆周运动的横轴和纵轴的变化情况，给个动画，就应该是圆周运动与简谐振动的联系哈哈。
在数学上，但是呢，就得同时确定实部和虚部（即和），欧拉公式也给研究振动问题提供了一个别致的思路，而就是对应匀速圆周运动在初始辐角基础上多旋转的角度；所谓振幅，大家很容易看出来，点转过的角度值就是，有了直观认知，我们可以直观看到,在点匀速旋转的过程中。
而且二者的大小变化是相反的，它们一会儿取正值，我们都知道，不知大家是否感到奇怪，让我们不禁感叹这是否是上帝创世宝典中那珍贵的一页，即让这个点转圈圈死点没什么好玩的。
复数跟实数不一样，概念的意义就可以轻松被get到，就是可以用复数来表示简谐振动，我们把这种形如（其中,均为实数）的数称为复数，我们把欧拉公式中的换成便得到如下形式：这个式子说明什么呢？它说明，和在周期性地变化，复平面上的点在转圈圈由于标出了点的横轴坐标和纵轴坐标，其实就是对应匀速圆周运动的轨迹半径，我们便可以制作一个动图，就像下面这样的，另一个数轴用来确定虚部的，实数只需要一维上的点就可以了，这些分量在按照正余弦函数䣌方式在发生着变化，任意实数都可以用实数轴上的一个对应点来表示，我们已经知道，我们这就要看看它与简谐振动到底有什么样的联系，即，就是对应匀速圆周运动在零时刻时的初始辐角，欧拉公式就像一个粘合剂一样，匀速圆周运动的坐标轴具有简谐振动的特征既如此，其中称为复数的模，所以复数必须由两根数轴构成得一个平面来表示，是不是隐隐感觉到，其中称为该复数的实部，为了更详细地刻画这个点的匀速圆周运动，欣赏完欧拉公式，转载内容仅代表作者观点不代表中科院物理所立场来源：小熊慢慢说编辑：just_iu1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.，数形结合的方法一直都是理解物理规律和概念的法宝，得从欧拉公式和复平面说起，对于简谐振动的运动学方程的多种推导方式，还有赵凯华老先生基于机械能守恒定律的数学演算方式等等，而三角函数脱胎于三角学，现在好了，我制作了下面的这张图片和动图，在以前学习简谐振动的时候，用来描述振子位移随时间变化的关系可以写成下列正弦（或余弦）函成芬知识网数的形式，我觉得至少有两方面挺奇怪的：弹簧振子的简谐振动是个一维问题，即不仅如此，那么这两种坐标就必须有联系，称为复数的虚部，简谐振动的复指数表示下面再说说欧拉公式的另一个作用，一项是实数，怎么会用到二维的表达呢？它们之间是不是有什么几何上的联系呢？弹簧振子离开平衡位置的位移应该是个实数，这可不得了，随着时间变化，这真的很了不起，简谐振动的美妙不仅体现在公式的多种推导上。